第七章 悠远的探寻之路 最早发明正负开方术的刘益

中国古代在数学方面，较长时间走在世界前列。如点线面体几何概念比西方早1900年；组合数学比西方早1200年；开负数方以及解高次方程，也比西方早近800年。为何后来中国在数学方面落后了呢？有一种观点认为，这是由于中国的数学传统是重计算、重个案、重结果，而不注重上升到原理和理论，这恰恰与后来的西方人重抽象、重规律、重概念相反。不过，我们的祖先也不全是都注重计算，而不注重总结,如世界上第一个发明正负开方术的数学家刘益。

刘益是北宋定州人，生卒年不详，约为英宗时人。从小善于学习，广泛涉猎，后专攻数学，大约在元丰三年（1080年）完成《论古根源》这部数学著作，首次提出高次方程式的求根法。

刘益的求根法起源于北宋贾宪的“增乘开方法”，但这一方法所解决的仅限于二次方程的纯开方问题，而且方程未知数的“系数”和“结果”也仅限于正数和1的整数。如何寻找一种适用各种方程，包括系数为负数和非整数，尤其能够求解高次方程的普遍方法？一直是摆在当时数学界的一个难题。

刘益在增乘开方法的基础上，反复研究和探讨，先后攻克了系数为负数的方程的解法和方程首项系数为１的限制，即也可以解系数是小数的方程。找到了能够适用于系数是正数、负数、整数、小数的所有方程，包括高次方程的求解方法。在宋朝数学界引起轰动，他的方法也被称为“正负开方术”。

这一方法，如果用语言表述就是：“用估根法，边乘边加，边变换原方程的系数，边接近结果，直到求解完成。”刘益的方法，又经南宋秦九韶进行完善，更准确简练。秦九韶将其改名为“大衍求一术”，后人给它起名叫“秦九韶程序”，实质还是刘益的正负开方术。

刘益发明的这种方法，西方人直到19世纪才找到。意大利数学家鲁非尼于1804年，英国数学家霍纳于1819年各自独立提出这一方法，比刘益晚了近800年。而且鲁非尼和霍纳的计算方法也没有刘益和秦九昭的简便明确。

由刘益发明的这种用正负开方术解高次方程的求根方法，是当今数学中求代数方程的解，以及电子计算机设计中，仍然广泛使用的极其有效的方法。各国中学、大学的数学课程几乎随时都在接触和教授这一解题原则。正因为这一方法的巨大价值，国外将这一方法称为“中国剩余定理”。