第七章 悠远的探寻之路 祖冲之父子两代研究算学

“飒飒西风渭水，萧萧落叶长安。英雄回首北邙山，虎斗龙争过眼。闲看灞桥杨柳，凄凉露冷风寒。断蝉声里凭阑干，不觉斜阳又晚。”这首《西江月》是明代杨慎在《二十一史弹词》中对南北朝历史的描绘。南朝经历了宋、齐、梁、陈四个朝代，因社会比较安定，农业和手工业都有显著进步，经济和文化迅速发展，从而推动了科学的前进。因此，南朝出现了一些很有成就的科学家，其中最杰出的人物之一就是祖冲之。

祖冲之（429─500），字文远，祖籍范阳遒县（今涞水县）人。西晋末年，由于故乡遭到战争破坏，祖上迁到江南居住。祖冲之的祖父祖昌，曾经在南朝宋担任过大匠卿，负责主持建筑工程，具有一定的科学技术知识，同时，祖家历代对于天文历法都有研究。由于受家庭的影响和熏陶，祖冲之对自然科学和文学、哲学都有广泛兴趣，特别是对天文、数学和机械制造，有深入的钻研。青年时期就有博学多才的名声，并且被派到学术研究机构——华林学省做研究工作。后来又担任过地方官职，任过娄县（今江苏昆山东北）令。生活虽然不很安定，但是仍然坚持学术研究，并且取得很大成就。他研究学术的态度非常严谨，既重视古人研究成果，又决不迷信古人。一方面，他对于古代科学家刘歆、张衡、阚泽、刘徽、刘洪等人的著述作了深入研究，充分吸取一切有用的东西。另一方面，他又敢于大胆怀疑前人在科学研究方面的结论，并通过实际观察和研究加以修正补充，取得许多极有价值的科学成果。在天文历法方面，他把岁差计算到历法中，创制的《大明历》，形成中国历法史上的第二次改革。在数学方面，他的圆周率计算，走在世界前列。

祖冲之认为自秦汉以来研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步探求更精确的数值，经过无数次研究和演算，终于获得超越前人的重大突破。根据《隋书·律历志》记载，祖冲之运用刘徽的割圆术，设了一个直径为一丈的圆，在圆内进行切割计算。当他切割到圆的内接192边形时，得到了“徽率”的数值，他又继续切割，一直切割到24576边形，依次求出每个内接正多边形的边长，最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间。上面的那些长度单位我们现在已经不再通用，用现在的话来解释，他计算的结果，证明圆周率应该在31415926和31415927之间，成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点后7位数字的人，所以人们把这个数值称为“祖率”。一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特打破。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，要想求出这种量器的容积有多大，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到错误所在，利用“祖率”校正了数值，为人们的日常生活提供了方便。以后，人们制造量器时就采用“祖率”数值。

南朝宋末年，祖冲之回到建康（今南京），担任谒者仆射。从这时起，直到南齐初年，他用很大精力研究机械制造，重造了指南车，发明了千里船、水碓等。祖冲之晚年时，南齐统治集团发生内乱，政治黑暗，人民困苦，北魏乘机发兵进攻。从494年到500年间，江南一带陷入战火。对于这种内忧外患的局面，祖冲之非常关心。他担任长水校尉时写了一篇《安边论》，建议政府开垦荒地，发展农业，增强国力，安定民生，巩固国防。齐明帝看到这篇文章，打算派祖冲之巡行四方，兴办一些有利于国计民生的事业。但是由于连年战争，他的建议始终没有能够实现，他带着遗憾与世长辞。但他的数学事业并没有中断，他的儿子祖暅继承家学，在数学研究上又有新的突破。

祖暅，字景烁，又称祖暅之，在梁朝担任过南康太守、材官将军、奉朝请等职务，生卒年代不详。受家庭的影响，从小对数学就有浓厚的兴趣。青年时期的祖暅在天文学和数学方面就造诣很深，祖冲之编制的《大明历》，就是在祖暅三次建议的基础上完成的。祖冲之去世后，他在梁朝天监三年（504年）、八年、九年先后三次上书，建议采用《大明历》，使父亲的遗愿得以实现。祖暅的主要工作是修补编辑他父亲的数学著作《缀术》，学者们考证，书中有些条目就是祖暅创作的。他求证出球的体积公式，被称为祖暅原理，这是祖暅一生最有代表性的发现。

球体体积的计算方法，也是古代数学的难题，《九章算术》对此曾经做过深入的探讨。书中提出取每边为1寸的正方体棋子8枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽把它叫做“牟合方盖”（古时人称伞为“盖”，“牟”同侔，意思是相合），他认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积，可是刘徽却找不出求导牟合方盖体积的途径。

祖暅在研究中发现“幂势既同，则积不容异”，意思是位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等，用这个方法解决了球体体积的计算难题。后来，数学上把这一原理命名为“祖暅原理”，这一公式比意大利数学家卡发雷至少要早1100年。

祖暅还有不少其他科学发现，他还监造了八尺铜表，测量日影长度，并发现北极星与北天极不动处相差一度有余；改进了当时通用的计时器——漏壶；编著了《漏刻经》《天文录》等科学著作。祖暅还把自己的学问毫无保留地传给了朋友信都芳、毛栖成和自己的儿子祖皓，他们后来都成为有贡献的数学家。

祖冲之、祖暅父子是中国数学研究史上两颗璀璨的明星，人们没有忘记他们对人类的巨大贡献。1960年，苏联科学家用世界上一些最有贡献的科学家的名字来命名月球背面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。1964年11月9日，为纪念祖冲之对中国和世界科学文化作出的贡献，紫金山天文台将1964年发现的国际永久编号为1888的小行星，命名为“祖冲之星”。

长路漫漫，历史悠悠。清代诗人詹回澜在翻阅南北朝史看到祖冲之传记时，挥笔写下《读史怀祖君冲之》，追念这位中国科技史上的奇才：“六朝铅粉独超群，一部胸罗天下文。学《易》原非胶步算，通元正自妙区分。等身著作花生笔，小试聪明巧运斤。信是长才宜典制，华林省内孰如君。”